Exact Differential

释义 Definition

全微分 / 恰当微分：指某个微分形式（常见如 \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy\)）可以写成某个标量函数 \(F(x,y)\) 的微分 \(dF\)。等价地说：它来自一个“势函数/原函数”，因此与路径无关的积分性质常常成立。（在多元微积分与微分方程中很常见；也存在更一般的情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/zkt dfrnl/

例句 Examples

An exact differential comes from a potential function.
全微分来自某个势函数（原函数）。

If \(M\,dx+N\,dy\) is an exact differential, then the line integral depends only on the endpoints, not the path taken.
如果 \(M\,dx+N\,dy\) 是全微分，那么线积分只与起点和终点有关，而与所走路径无关。

词源 Etymology

exact 源自拉丁语 exactus（“精确的、完全的”），强调“严格满足条件”；differential 来自 differentia（“差异”）并在数学中指“微小变化”。合在一起，exact differential 表示“能被严格视为某个函数的微分的微分形式”，而不是仅仅“看起来像微分”。

相关词 Related Words

• Conservative Field
• Differential
• Exact Equation
• Gradient
• Integrating Factor
• Line Integral
• Potential Function

文学与经典著作 Literary Works

• James Stewart，《Calculus: Early Transcendentals》：在“恰当微分/保守场/势函数”相关章节中常用到 exact differential 的表述。
• George F. Simmons，《Differential Equations with Applications and Historical Notes》：在“Exact Equations（恰当方程）”部分讨论判别条件与求解法时使用该术语。
• Arfken, Weber & Harris，《Mathematical Methods for Physicists》：在热力学微分关系与势函数背景下，常出现“exact differential / inexact differential”的对比用法。
• Hubbard & Hubbard，《Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms》：在微分形式与全微分（exact forms）/势函数的语境中与该概念紧密相关。